الرياضيات المتناهية الأمثلة

y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد خطوط التقارب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ غير معرّفة.

x \leq - 5, x = 0

$x \leq - 5, x = 0$

خطوة 1.2

بما أن

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ عندما

x

$x$

\to

$\to$

- 5

$- 5$ من جهة اليسار و

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ عندما

x

$x$

\to

$\to$

- 5

$- 5$ من جهة اليمين، إذن

x = - 5

$x = - 5$ خط تقارب رأسي.

x = - 5

$x = - 5$

خطوة 1.3

بما أن

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ عندما

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ من جهة اليسار و

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ عندما

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ من جهة اليمين، إذن

x = 0

$x = 0$ خط تقارب رأسي.

x = 0

$x = 0$

خطوة 1.4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

خطوة 1.5

متجاهلاً اللوغاريتم، ضَع في اعتبارك الدالة الكسرية

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث

n

$n$ هي درجة البسط و

m

$m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت

n < m

$n < m$ ، فإن المحور السيني،

y = 0

$y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة

n = m

$n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة

n > m

$n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 1.6

أوجِد

n

$n$ و

m

$m$ .

n = 0

$n = 0$

m = 2

$m = 2$

خطوة 1.7

بما أن

n < m

$n < m$ ، فإن المحور السيني،

y = 0

$y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

y = 0

$y = 0$

خطوة 1.8

لا توجد خطوط تقارب مائلة للدوال اللوغاريتمية والمثلثية.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 1.9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

خطوط التقارب الأفقية:

y = 0

$y = 0$

خطوط التقارب الرأسية:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

خطوط التقارب الأفقية:

y = 0

$y = 0$

خطوة 2

أوجِد النقطة في

x = 1

$x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

1

$1$ في العبارة.

f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط

5 \ln (1 + 5)

$5 \ln (1 + 5)$ بنقل

5

$5$ داخل اللوغاريتم.

f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

خطوة 2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

خطوة 2.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أضف

1

$1$ و

5

$5$ .

f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

خطوة 2.2.3.2

ارفع

6

$6$ إلى القوة

5

$5$ .

f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

خطوة 2.2.4

اقسِم

\ln (7776)

$\ln (7776)$ على

1

$1$ .

f (1) = \ln (7776)

$f (1) = \ln (7776)$

خطوة 2.2.5

الإجابة النهائية هي

\ln (7776)

$\ln (7776)$ .

\ln (7776)

$\ln (7776)$

\ln (7776)

$\ln (7776)$

خطوة 2.3

حوّل

\ln (7776)

$\ln (7776)$ إلى رقم عشري.

y = 8.95879734

$y = 8.95879734$

y = 8.95879734

$y = 8.95879734$

خطوة 3

أوجِد النقطة في

x = 2

$x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

2

$2$ في العبارة.

f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط

5 \ln (2 + 5)

$5 \ln (2 + 5)$ بنقل

5

$5$ داخل اللوغاريتم.

f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع

2

$2$ إلى القوة

2

$2$ .

f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

خطوة 3.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أضف

2

$2$ و

5

$5$ .

f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

خطوة 3.2.3.2

ارفع

7

$7$ إلى القوة

5

$5$ .

f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة

\frac{\ln (16807)}{4}

$\frac{\ln (16807)}{4}$ بالصيغة

\frac{1}{4} \ln (16807)

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

خطوة 3.2.5

بسّط

\frac{1}{4} \ln (16807)

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ بنقل

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ داخل اللوغاريتم.

f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

خطوة 3.2.6

الإجابة النهائية هي

\ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

\ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

\ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

خطوة 3.3

حوّل

\ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ إلى رقم عشري.

y = 2.43238768

$y = 2.43238768$

y = 2.43238768

$y = 2.43238768$

خطوة 4

أوجِد النقطة في

x = 3

$x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

3

$3$ في العبارة.

f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط

5 \ln (3 + 5)

$5 \ln (3 + 5)$ بنقل

5

$5$ داخل اللوغاريتم.

f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع

3

$3$ إلى القوة

2

$2$ .

f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

خطوة 4.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أضف

3

$3$ و

5

$5$ .

f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

خطوة 4.2.3.2

ارفع

8

$8$ إلى القوة

5

$5$ .

f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة

\ln (32768)

$\ln (32768)$ بالصيغة

\ln (2^{15})

$\ln (2^{15})$ .

f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

خطوة 4.2.5

وسّع

\ln (2^{15})

$\ln (2^{15})$ بنقل

15

$15$ خارج اللوغاريتم.

f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

خطوة 4.2.6

احذِف العامل المشترك لـ

15

$15$ و

9

$9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

أخرِج العامل

3

$3$ من

15 \ln (2)

$15 \ln (2)$ .

f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

خطوة 4.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

أخرِج العامل

3

$3$ من

9

$9$ .

f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

خطوة 4.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

خطوة 4.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

خطوة 4.2.7

بسّط

5 \ln (2)

$5 \ln (2)$ بنقل

5

$5$ داخل اللوغاريتم.

f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

خطوة 4.2.8

ارفع

2

$2$ إلى القوة

5

$5$ .

f (3) = \frac{\ln (32)}{3}

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

خطوة 4.2.9

أعِد كتابة

\frac{\ln (32)}{3}

$\frac{\ln (32)}{3}$ بالصيغة

\frac{1}{3} \ln (32)

$\frac{1}{3} \ln (32)$ .

f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

خطوة 4.2.10

بسّط

\frac{1}{3} \ln (32)

$\frac{1}{3} \ln (32)$ بنقل

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.2.11

الإجابة النهائية هي

\ln (32^{\frac{1}{3}})

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

\ln (32^{\frac{1}{3}})

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

\ln (32^{\frac{1}{3}})

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.3

حوّل

\ln (32^{\frac{1}{3}})

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ إلى رقم عشري.

y = 1.1552453

$y = 1.1552453$

y = 1.1552453

$y = 1.1552453$

خطوة 5

يمكن تمثيل دالة اللوغاريتم بيانيًا باستخدام خط التقارب الرأسي عند

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$ والنقاط

(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)

$(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

خط التقارب الرأسي:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

خطوة 6