الرياضيات المتناهية الأمثلة

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد خطوط التقارب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ غير معرّفة.

$x \leq - 5, x = 0$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 5$ من جهة اليسار و $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 5$ من جهة اليمين، إذن $x = - 5$ خط تقارب رأسي.

$x = - 5$

خطوة 1.3

بما أن $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $0$ من جهة اليسار و $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $0$ من جهة اليمين، إذن $x = 0$ خط تقارب رأسي.

$x = 0$

خطوة 1.4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 5, 0$

خطوة 1.5

متجاهلاً اللوغاريتم، ضَع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 1.6

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

خطوة 1.7

بما أن $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

$y = 0$

خطوة 1.8

لا توجد خطوط تقارب مائلة للدوال اللوغاريتمية والمثلثية.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 1.9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 5, 0$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 5, 0$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

خطوة 2

أوجِد النقطة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط $5 \ln (1 + 5)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

خطوة 2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

خطوة 2.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أضف $1$ و $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

خطوة 2.2.3.2

ارفع $6$ إلى القوة $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

خطوة 2.2.4

اقسِم $\ln (7776)$ على $1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

خطوة 2.2.5

الإجابة النهائية هي $\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

خطوة 2.3

حوّل $\ln (7776)$ إلى رقم عشري.

$y = 8.95879734$

خطوة 3

أوجِد النقطة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $5 \ln (2 + 5)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

خطوة 3.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أضف $2$ و $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

خطوة 3.2.3.2

ارفع $7$ إلى القوة $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة $\frac{\ln (16807)}{4}$ بالصيغة $\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

خطوة 3.2.5

بسّط $\frac{1}{4} \ln (16807)$ بنقل $\frac{1}{4}$ داخل اللوغاريتم.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

خطوة 3.2.6

الإجابة النهائية هي $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

خطوة 3.3

حوّل $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ إلى رقم عشري.

$y = 2.43238768$

خطوة 4

أوجِد النقطة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $5 \ln (3 + 5)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

خطوة 4.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أضف $3$ و $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

خطوة 4.2.3.2

ارفع $8$ إلى القوة $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $\ln (32768)$ بالصيغة $\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

خطوة 4.2.5

وسّع $\ln (2^{15})$ بنقل $15$ خارج اللوغاريتم.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

خطوة 4.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

خطوة 4.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

خطوة 4.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

خطوة 4.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

خطوة 4.2.7

بسّط $5 \ln (2)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

خطوة 4.2.8

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

خطوة 4.2.9

أعِد كتابة $\frac{\ln (32)}{3}$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

خطوة 4.2.10

بسّط $\frac{1}{3} \ln (32)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.2.11

الإجابة النهائية هي $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.3

حوّل $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ إلى رقم عشري.

$y = 1.1552453$

خطوة 5

يمكن تمثيل دالة اللوغاريتم بيانيًا باستخدام خط التقارب الرأسي عند $x = - 5, 0$ والنقاط $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

خط التقارب الرأسي: $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

خطوة 6